Si $Y$ est sans mémoire, on a vu à la question précédente qu'il existe $p\in ]0,1[$ tel que Puisque $X=X_1+X_2+X_3+X_4$, $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(4,1/4)$. &=p\times\frac 1p+q\times\frac1q=1. Une variable aléatoire est généralement désignée par une lettre majuscule X;Y;etc. D'autre part, $(X=2)$ est réalisé, soit si le spot $S_1$ reste allumé à l'instant 1 et le spot $S_2$ s'allume à l'instant 2, soit si le spot $S_3$ s'allume à l'instant 1 (et $S_2$ s'allumera automatiquement à l'instant 2). La fonction de r epartition d’une variable al eatoire X est la fonction d e nie pour tout t 2R par F X(t) = P(X t): Autrement dit, F X(t) est la probabilit e de l’ ev enement "la valeur de X est inf erieure ou egale a t". On a donc Réciproquement, on suppose que $X$ admet une espérance. Comme les événements $A_1,\dots,A_{10}$ sont indépendants, on a On applique la formule du cours pour obtenir l'espérance et on trouve que Soit $X$ le nombre de piles obtenus au cours de 10 lancers. pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs. &=\sum_{i=1}^{+\infty}p^{i+1}q^j+q^{i+1}p^j\\ Que vaut $S(\Omega)$? Quant à la loi de $X$, on trouve, pour $1\leq k\leq N$ : indépendantes. On vérifie alors aisément que $P(Y>n+m)=P(Y>n)P(Y>m)$ et aussi que $P(Y>n)>0$. On répète les tirages tant qu'on n'a pas obtenu le pile... Imaginons que l'on répète $n$ fois l'expérience précédente, et que l'on note $X_1,\dots,X_n$ les variables aléatoires obtenues. }\lambda^l\mu^{k-l}\\ Remarquons que Pierre est avantagé à ce jeu. P(Y=j)&=\sum_{i=1}^{+\infty}P(X=i\cap Y=j)\\ Par un raisonnement similaire, ou par passage au complémentaire, on a On en déduit ici que Le mode et la médiane sont des outils d'analyse de la dispersion d'une variable. Pour la clé numéro $i$, il y a avait une clé parmi $n-i+1$ qui convenait. $$P(Y=k)=P(X=k+s-1)=p(1-p)^{k-1}.$$ et $Y=X_1+\dots+X_{10}$. \end{align*} La probabilité que le premier tirage donne une boule rouge est 3/5. Reste à calculer $P(T=0)$. On note $A_k$ l'événement "la $k$-ième boule tirée est noire". On a donc, pour $N$ qui tend vers l'infini : \begin{eqnarray*} $$B=\overline{A_1}\cap\cdots\cap\overline{A_{10}}.$$ Utiliser la formule définissant une probabilité conditionnelle. On a donc prouvé que, pour tout $N\in\mathbb N$, $P\left[ X=k|Y=n\right] =0$ si $k>n$ ou $k<0$ et $P\left[ X=k|Y=n\right] Il faut chercher la loi de $X$. Reconnaitre le schéma d'une loi classique. D'après la contrainte imposée par l'énoncé, on a }=\lambda^2+\lambda.$$ On tire un nombre entier naturel $X$ au hasard, et on suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $a>0$. &=p\sum_{i=0}^{d-s}(d-s-i) (1-p)^{i}\\ On détermine $\alpha$ et $\beta$ en testant sur les premiers termes ($p_2$ et $p_3$). Corrigé de l’exercice. p-q&=&\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=2n+1)-\sum_{n=1}^{+\infty}P(X=2n)\\ Pour $(X=4)$, cela se corse un peu ! puis de proche en proche, $P(X=2)$, etc... Pour simplifier, notons $p_n=P(X=n)$. $$A=\left(\begin{array}{cc} X_1&1\\0&X_2\end{array}\right).$$ \begin{eqnarray*} $$E(X)=n.$$ 5. $$X_1=\dots=X_{i_1-1}=0,X_{i_1}=1,X_{i_1+1}=\dots=X_{i_1+i_2-1}=0,X_{i_1+i_2}=1,\dots,X_{i_1+\dots+i_n}=1.$$ Comme on retire une clé à chaque essai infructueux, $Y$ ne peut prendre ses valeurs que dans $\{1,\dots,n\}$. On fera la même séparation de cas. &=&e^{-a}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{2n+1}}{(2n+1)!}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a^{2n}}{2n! &=&\frac 1{5! Il y a donc $n+1$ choix pour le premier pile. si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_1$ est allumé, alors un (et un seul) des spots $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ s'allume à l'instant $t=n+1$, et ceci de manière équiprobable. &=&e^{-mp}\frac{(mp)^k}{k!}. On cherche à calculer la probabilité de gagner de chacun des joueurs. &=\sum_{j=0}^k P(T=j)jE(X_0)\\ On obtient finalement : Noter $X$ la variable aléatoire du nombre d'essais à effectuer avant d'ouvrir la porte. $$\sum_{k=0}^n kP(X=k)\leq \sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k).$$ Ainsi, La variable aléatoire $Y$ suit donc "tout simplement" une loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. \end{align*} Puisque $E(X)=f(p/q)$, on en déduit que $E(X)\geq 2$. Par indépendance de ces événements, on a donc pour $n\geq 6$, En particulier, on a &=&p(1-p)^k. Rappeler la loi de $Y$ ainsi que la valeur de l'espérance et de &=\frac{p^{i+1}q}{1-q}+\frac{q^{i+1}p}{1-p}\\ penser à la loi binomiale. On note $U$ le premier appel reçu en retard. La partie s'arrête alors, le joueur qui a amené un 6 a gagné. &=&e^{-m}\left(\frac{p}{q}\right)^k\frac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(mq)^{n}}{(n)! Alors Les variables $X_n$ sont des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$. &=k+1+(1-p)\sum_{j=0}^k (k-j)(1-p)^j\\ Le résultat est donc prouvé au rang $k+1$ et par le principe de récurrence, le résultat est vrai pour tout $k$. \end{eqnarray*} Il faut aussi triturer la somme un petit peu (ne sommer que sur les termes non nuls, puis faire un changement d'indices pour retrouver la fonction exponentielle...). &\iff (d-s)\geq \frac{-\ln 2}{\ln (1-p)}\\ l'événement "l'objet provient de la chaine A" . }.$$, Il y a deux possibilités pour justifier la convergence de la série. $$P(A_n=i_n)=q^{i_n-1}p.$$ On convient que $Y=0$ si les tirages n'amènent jamais une boule blanche. $$P(G_2)=P_A(G_2)P(A)+P_{\bar A}(G_2)P(\bar A).$$ Si $p=1$, alors $P(Y>1)=0$, ce qui contredit une des conditions des variables aléatoires sans mémoire données par l'énoncé. La variable aléatoire $T_1$ est le temps d'attente du premier pile; elle suit la loi géométrique de paramètre $p$, donc d'espérance $1/p$. &=\sum_{j=0}^k P(T=j)\sum_{l=0}^N l P(S_j=l) Rappeler, pour $q\in]-1,1[$, l'expression de $\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n$, et calculer alors $E(X)$. Exemple: On lance 2 dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6. &=&\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)! Une région comporte 10 hôpitaux. }\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\\ La somme de la série se calcule en utilisant $\sum_{x\geq 0}x^n=1/(1-x)$ pour $|x|<1$, en dérivant cette égalité, et en faisant $x=1/4$. }e^{(1-p)\lambda}\\ Bien sûr on peut et on doit vérifier que On admet que les appels se produisent indépendamment les uns des autres, et que, pour chaque appel, la probabilité d'un retard est de 0,25. objets. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois obtenus. On lance la pièce jusqu'à ce que l'on obtienne pile pour la première fois. $$P(A_1=i_1,\dots,A_n=i_n)=q^{i_1-1}pq^{i_2-1}p\dots q^{i_n-1}p.$$ D_{s+1}-D_s&=-1+\frac{2}p(1-p)^{d-s}-\frac{2}p(1-p)^{d-s+1}\\ On en déduit que d'où on déduit immédiatement que On considère une entreprise de construction Le service de dépannage d'un grand magasin dispose d'équipes intervenant sur appel de la clientèle. }-\sum_{k\geq 1}\frac{1}{(k+1)!}=1.$$. Y=n\right) &=k+1+(1-p)u_k. $$0\leq nP(X>n)=n\sum_{k=n+1}^{\infty}P(X=k)\leq\sum_{k=n+1}^\infty kP(X=k).$$ &=\sum_{j=0}^k P(T=j)E(S_j)\\ Mais, d'après le rappel effectué à la première question, $$P(Y>n)>0\textrm{ et } P_{(Y>n)}(Y>n+m)=P(Y>m).$$, On commence par remarquer que En déduire l'espérance et la variance de $X$. On effectue, à partir de cette urne, $n$ tirages successifs d'une boule, avec remise, et on note $X$ le plus grand nombre obtenu. On suppose que ces deux événements (dépassement de la vitesse limite et contrôle radar) sont indépendants, et que leur survenue un jour donné ne dépend pas de ce qui se passe les autres jours. $$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k).$$. R!7! On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois "pile". \end{align*} Une fois assis et les idées claires, donne sa réponse à l’individu (sous la forme de « oui » ou « non »). Interpréter la valeur de $E(X)$. Un jour sur deux, il dépasse la vitesse autorisée. Faire le produit de Cauchy des deux séries. $$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k).$$, On a $X\leq k$ si et seulement si les $n$ épreuves ont amené un résultat inférieur ou égal à $k$, et on a donc : $$P(A_1=i_1,\dots,A_n=i_n)=P(A_1=i_1)\dots P(A_n=i_n),$$ &=&p\left(1-p\frac{1-(1-p)^k}{1-(1-p)}\right)\\ On obtient en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\veps>0$, \sum_{l=0}^N lP(Y=l)&=\sum_{j=0}^k \sum_{l=0}^N l P(T=j)P(X_1+\dots+X_j=l)\\ On peut aussi, en utilisant les notations de la question suivante, remarquer que Donner la loi de $Z$ et vérifier que $Z$ et $Y$ sont indépendantes. On regarde un hôpital. $$\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n).$$. Exercice 9 Au march e de Brive-la-Gaillarde, on a pes e les bottes d’oignons : sur 2000 bottes, 120 p esent moins de 900 grammes et 112 p esent plus de 1;150 kilogrammes. Montrer que lim x→+∞ x ∫ +∞ x f(t)dt = 0. En déduire la loi de $X$. }\left(\frac 1{20}\right)^6\sum_{n\geq 6}(n-1)\cdots(n-5)\left(\frac{19}{20}\right)^{n-6}\\ Y=n\right) =\frac{\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}$. $$u_k=\frac kp-\frac{1-p}{p^2}+\frac{1-p}{p^2}(1-p)^k.$$ Devant chaque numéro se trouve une place de parking. Ces personnes ne sont pas assises à côté et sont séparées par individus Avant de s’asseoir, a demandé en mariage mais, sous l’effet de surprise, n’a pas pu lui répondre sur le coup. \begin{align*} Introduire $P_k$ (resp. Utiliser la formule des probabilités totales. $$P(C)=\sum_{k\in\mathbb N}P(X=3k+3)=\sum_{k\in\mathbb N}pq^{3k+2}=\frac{pq^2}{1-q^3}=\frac{q^2}{1+q+q^2},$$ L'événement $(X=i)\cap (Y=j)$ correspond à deux cas : on obtient $i$ boules noires, puis $j$ boules blanches, puis une boule noire. En calculant $p+q$ et $p-q$, déterminer la valeur de $p$ et de $q$. L'événement $(X>k)$ est réalisé si et seulement si, la première clé n'a pas convenu et la deuxième clé n'a pas convenu,et..., et la $k$-ième clé n'a pas convenu. Vérifier que $E(X)>2$. Calculer la probabilité des événements $(X=1)$ et $(X=2)$. UniversitéPierreetMarieCurie 2013-2014 Probabilitésetstatistiques-LM345 Mercredi6novembre2013 Contrôle continu. De même, \end{align*}, En utilisant le résultat de la première question, on a Densité et calcul de probabilité d’événements Paramètres d’une loi continue Définition Definition Une variable aléatoire est une application de l’univers dans R X : ! On suppose que $X_1,\dots,X_k,T$ sont mutuellement indépendantes et on définit la variable aléatoire $Y$ sur $\Omega$ par On a donc suivant que $n\ge k$ ou $nX$ est la réunion des événements disjoints $X=k,Y>k$, pour $k$ allant de $1$ à $+\infty$. Quelle est la probabilité qu'au moins un des 10 hôpitaux soit saturé un jour donné? On en déduit que $$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\lambda}{k+1}.$$ \begin{eqnarray*} $$"X=k"=A_k\cap \overline{A_{k-1}}\cap\cdots\cap \overline{A_s}.$$ &=&e^{-(\lambda+\mu)}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^k \mu^{n-k}}{k! Soit $(i_1,\dots,i_n)\in\mtn^n$. &=&\left( \frac{0.1}{0.9}\right) ^{k}e^{-20}\sum_{n=k}^{M}\frac{n! On répète cette expérience de façon indépendante et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier tirage pour lequel on obtient pile. puis appliquer ceci pour $m=0$ et $m=1$. $$g'(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}kt^{k-1}=\frac{1}{(1-t)^2}.$$ On suppose de plus que tous les $X_i$ ont même loi. &=\sum_{n=s}^{+\infty}(n-d)P(X=n)-\sum_{n=s}^d (d-n)P(X=n)\\ &=-1+2(1-p)^{d-s} Maintenant, $k,j$ et $l$ étant fixés, les variables aléatoires $T$ et $X_1+\cdots+X_j$ sont indépendantes, donc les événements $T=j$ et $X_1+\dots+X_j=l$ sont indépendants. On considère une suite de parties indépendantes de pile ou face, la probabilité d'obtenir "pile" à chaque partie étant égale à $p$, où $p\in]0,1[$. Écrire un algorithme qui simule la variable aléatoire $Y$. $$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}\geq 1\iff k\leq \lambda-1.$$ \end{eqnarray*} UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT - LICENCE 2 - ÉLÉMENTS DE PROBABILITÉS EP4 - SUPPORT 07 Exercice 1 La loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est donnée par : X \ Y −1 1 −1 1 10 3 10 1 5 10 1 10 1. Déterminer l'espérance des gains de chacun. 0&\textrm{sinon.}\end{array}\right. p^k \frac{\frac qp-\left(\frac qp\right)^k}{1-\frac qp}\\ Quelle est la loi de $T$?